Онлайн-расчёты Скачать Статьи-формулы Нормы ОВ Справочник-таблицы Контакты
Вопросы, связанные с авторскими правами Производителям оборудования

Понятие производной для начинающих

Движение, путь и скорость

Рассмотрим поступательное движение тела вдоль некоторой прямой линии; расстояние определённой точки тела от определённой точки на этой прямой обозначим z, причём в одну сторону это расстояние будем считать положительным, а в другую - отрицательным. Пусть, например, прямая, вдоль которой движется тело, расположена вертикально, точки выше 0 соответствуют положительным z, точки ниже 0 - отрицательным z.
При движении координата z зависит от времени (мы будем сокращённо говорить: "координата z" вместо "расстояние определённой точки тела от определённой точки на прямой"). Движение тела определяется зависимостью z от времени t, т.е. заданием функции z(t). Зная функцию z(t), можно найти положение тела в любой момент времени.
Функцию z(t) можно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс время (ось t), а по оси ординат - величину z, характеризующую положение тела.
При равномерном движении с постоянной скоростью v путь z, пройденный за время t, равен произведению z=v⋅t. Обозначим z0 координату тела в момент t=0. Путь, пройденный за время t, равен разности z(t)−z0. Значит,
z(t)=z0+v⋅t
Следовательно, при равномерном движении зависимость координаты от времени даётся линейной функцией. График зависимости z(t) при равномерном движении представляет собой прямую линию на координатной плоскости, у которой по оси абсцисс (горизонтальной) отложено время t, а по оси ординат (вертикальной) отложена координата z
Если же тело движется неравномерно, зависимость z(t) выражается более сложными формулами и соответствующий график представляет собой ту или иную кривую
Разберём подробно следующую задачу: задана функция z(t), т.е. зависимость координаты тела от времени, нужно найти скорость движения тела v. В общем случае неравномерного движения скорость не остаётся постоянной, она меняется с течением времени. Значит, скорость v есть также функция времени v(t), и задача заключается в том, чтобы выразить v(t) через известную функцию z(t).
В частном случае равномерного движения (с постоянной скоростью) всё просто. Скорость определяется как путь, пройденный за единицу времени. Так как скорость постоянна, то безразлично, какой именно участок пути и какой промежуток времени выбран для определения скорости.
Найдём путь, пройденный за одну секунду от момента t1 секунд до момента t1+1 секунд. Этот путь равен разности координат z(t1+1) и z(t1):
z(t1+1)−z(t1)=[z0+v⋅(t1+1)]−[z0+v⋅t1]=v
и численно оказался равным скорости. Можно взять произвольный промежуток времени между t1 и t2 и разделить пройденный путь z2−z1 на величину промежутка t2−t1:
t2−t1
Именно потому, что скорость постоянна, мы могли выбирать для её вычисления любой интервал t2−t1, и ответ не зависел ни от момента t1, ни от величины этого интервала. В общем случае движения с переменной скоростью это уже не так.
Прежде чем переходить к более общему случаю удобно переменить обозначения. Назовём t1=t, t2=t+Δt, так что разность t2−t1, т.е. промежуток времени, обозначена Δt 1↓. Подобно этому обозначим Δz разность
z(t2)−z(t1)=z(t+Δt)−z(t)=Δz
В этих обозначениях средняя скорость vср в интервале Δt от t до t+Δt равна  [A]   [A] Отметим, что Δ - это не множитель, а знак, заменяющий слово «приращение», так что сокращать Δ в числителе и знаменателе дроби нельзя. Сам знак Δ - это прописная буква «дельта» греческого алфавита, так что Δt читается «дельта тэ», Δz - «дельта зэт»; часто читают Δt - «приращение времени», Δz - «приращение пути».
vср=ΔzΔt
Мы говорим здесь о средней скорости потому, что общем случае сама скорость может меняться на протяжении интервала Δt.
Рассмотрим второй пример, когда z(t) задаётся формулой
z(t)=z0+bt+ct2
На рис. 2↓ приведён один из возможных графиков, отвечающих функции вида 4↑.
Рисунок 1
figure Понятие производной для начинающих - график 1.png
Рисунок 2
figure Понятие производной для начинающих - график 2.png
Вычислим среднюю скорость vср на интервале Δt по формуле 3↑. Для этого запишем:
z(t)=z0+bt+ct2
z(t+Δt)=z0+b(t+Δt)+c(t+Δt)2
Δz=z(t+Δt)−z(t)=bΔt+2ctΔt+c(Δt)2
Отсюда получается
vср=ΔzΔt=b+2ct+cΔ5
Сравним результаты 2↑ и 5↑ для средней скорости при движении по закону 1↑ и по закону 4↑. Второй пример отличается тем, что в нём средняя скорость зависит и от самого момента t, и от промежутка времени Δt.
Как же найти мгновенную скорость?
Скорость меняется постепенно, поэтому чем меньше промежуток времени, в течение которого производится измерение пройденного пути, тем меньше успеет измениться скорость, тем ближе будет средняя скорость к её мгновенному значению.
В формуле 5↑ vср содержит два члена, не зависящих от величины промежутка Δt, и один член, пропорциональный Δt. При очень маленьких Δt этим членом можно пренебречь, а vср при этом даёт величину мгновенной скорости
vмгн=b+2ct
Внимательный читатель, вероятно, уже узнал в выражениях 4↑ и 6↑ известные из школьного учебника физики формулы для равноускоренного движения:
{z(t)=z0+v0t+at22v(t)=v0t+at
Для этого нужно лишь вместо b подставить v0 - начальную скорость (т.е. скорость в момент t=0), а вместо c подставить a/2, где a - ускорение.
Мы вычислили мгновенную скорость в момент t, исходя из средней скорости в промежутке от t до t+Δt. Попробуем теперь вычислить её, выбирая промежуток несколько по-иному. Найдём среднюю скорость в промежутке от t1=t−3Δt/4 до t2=t+Δt/4; длительность промежутка по-прежнему равна t2−t1=Δt. Из формулы 4↑ получим
z(t1)=z0+b(t−3Δt4)+c(t−3Δt4)2
z(t2)=z0+b(t+Δt4)+c(t+Δt4)2
z(t2)−z(t1)=bΔt+2ctΔt−12c(Δt)2
Отсюда следует, что
vср=z(t2)−z(t1)t2−t1=b+2ct−12cΔt
Если сравнить формулы 5↑ и 8↑, то видно, что средние скорости на интервале от t до Δt и на интервале от t−3Δt/4 до t+Δt/4 отличаются на величину cΔt[1−(−1/2)]=3cΔ/2. Но если мы хотим найти мгновенную скорость, то нужно брать очень маленький интервал Δt; при этом различие пропадает, и мы снова получаем для мгновенной скорости vмгн=b+2ct.
Мы рассмотрели понятие мгновенной скорости для двух конкретных примеров: для равномерного и для равноускоренного движения. В следующем параграфе мы дадим более точное определение мгновенной скорости при произвольном законе движения.

Производная функции - предел отношения приращений

В предыдущем параграфе в связи с задачей о мгновенной скорости мы пришли к рассмотрению отношений вида
z(t2)−z(t1)t2−t1
при очень близких между собой значениях t2 и t1.
Выражение «очень близкие» является неопределённым, нестрогим. Точная формулировка такова: необходимо найти предел, к которому стремится отношение
z(t2)−z(t1)t2−t1
при t2, стремящимся к t1. Используя обозначения Δt и Δz, это отношение можно переписать в виде
vср=ΔzΔt
В формуле 10↑ величины Δt и Δz зависимы: можно выбрать любой промежуток времени Δt, но после того, как промежуток времени Δt, стоящий в знаменателе, выбран, подразумевается, что Δz в числителе - не любой отрезок пути, а именно тот, который соответствует промежутку времени Δt. В формуле 9↑ это было очевидно из самого написания аргументов функции z(t2), z(t1) в числителе, формула 10↑ есть просто другая запись формулы 9↑.
Интересующая нас величина мгновенной скорости v(t) в момент времени t есть предел отношения ΔzΔt при Δt, стремящемся к нулю. Очевидно, стремление Δt к нулю равносильно стремлению t2 к t1, поскольку Δt=t2−t1. Приведённая формулировка записывается так:
v(t)=limΔt→0(ΔzΔt)
Буквы lim  [B]   [B] начальные буквы латинского слова «limes» - «лимес» - «предел» обозначают «предел»; внизу записано, о каком именно пределе идёт речь - при Δt, стремящемся к нулю, стрелка заменяет слово «стремится», в скобках указана та величина ΔzΔt, предел который ищется.
Что значит «предел», «стремление к пределу»? Те расчёты, которые мы производили в предыдущем параграфе, как раз и служили наглядным пояснением этих понятий. Мы видели, что при малых промежутках Δt величина vср во втором примере отличалась от значения vмгн на малую величину, пропорциональную Δt. Хотя коэффициент пропорциональности при Δt мог быть различным при разных способах выбора интервала, для малых значений Δt в выражении для vср мы всегда могли пренебречь членом с Δt.
Итак, отношение
ΔzΔt=z(t2)−z(t1)t2−t1
стремится к определённому пределу, когда Δt=t2−t1 стремится к нулю; при Δt, стремящемся к нулю, t2 и t1 неограниченно сближаются между собой, и общую их величину мы обозначаем (когда Δt→0) t2=t1=t.
Предел отношения, т.е. мгновенная скорость v, есть определённая функция t,
limΔt→0ΔzΔt=v(t)
Почему при вычислении скорости по заданной формуле z(t) приходится проводить такой длинный расчёт, находить Δz для различных Δt и затем только находить предел limΔt→0ΔzΔt? Нельзя ли сразу взять значение Δt=0? При этом мы получили бы Δz=0, так как Δt=t2−t1, и если t2=t1, то и z(t2)=z(t1) и Δz=z(t2)−z(t1)=0. Значит, при таком бездумном способе действий мы получили бы ΔzΔt=00, т.е. не получили бы никакого определённого ответа.
При вычислении скорости вся суть заключается в том, чтобы брать малые Δt и соответствующие им малые Δz. При этом получается каждый раз вполне определённое отношение ΔzΔt; когда Δt уменьшается, стремится к нулю, то Δz уменьшается приблизительно пропорционально величине Δt, а поэтому отношение остаётся приблизительно постоянным.
Отношение ΔzΔt стремится к определённому пределу при стремлении Δt к нулю.
Величина этого предела - мгновенная скорость v(t) в случае движения или в общем случае производная функции z(t) - зависит от вида функции z(t) и от значения переменной t. В следующем параграфе мы проведём алгебраически вычисление производной нескольких простейших функций и для них найдём точное значение предела, т.е. производной.

Обозначения производной. Производная степенной функции

Предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной имеет первостепенное значение и для высшей математики и для её приложений: выше мы видели, например, что такое важнейшее понятие, как мгновенная скорость движения, находится именно с помощью предела такого отношения. Поэтому предел этого отношения имеет специальное название: производная функция или короче производная. Первое название связано с тем, что если z есть функция t, z(t), то и предел отношения limΔt→0ΔzΔt=v также есть функция (другая) v(t) переменной t - зависит от значения t, к которому стремятся t1 и t2, или, как иначе говорят, v зависит от значения t, «при котором берётся производная z».
Для производной имеются специальные обозначения.
Один способ обозначения:
∂z∂t=limΔt→0ΔzΔt ∂T∂x=limΔx→0ΔTΔx
При этом величина ∂z∂t  [C]   [C] читается: «дэ-зэт по дэ-тэ» рассматривается на как дробь, а просто как сокращённая запись предела, стоящего справа. Величина ∂z∂t записана в форме дроби для того, чтобы напоминать, что эта величина получена из дроби ΔzΔt путём перехода к пределу.
Обратите внимание, что
∂z∂t
не одно и то же, что
ΔzΔt

Источники

[ 1] Я.Б.Зельдович «Высшая математика для начинающих»